演習問題１解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。

問題１−１

関数 $f(x)=x^{2}-3x$について， $f(\displaystyle \frac{1}{2})=-1$である．


解答　　誤


コメント　　　 $f(\displaystyle \frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^{2}-3\times(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=-\frac{5}{4}$



問題１−２

関数$y=x^{2}+1$と関数$v=u^{2}+1$は同じ関数である．


解答　　正


コメント　　これらはともに、数を２乗して１を加えるという関数であり、用いる変数記号が異なるだけで関数としては同じものである。




問題１−３

関数 $y=\displaystyle \frac{1}{x} (x\in[2,\infty))$の値域は $[0,\displaystyle \frac{1}{2}]$である．


解答　　誤


コメント　　$x=0$は値域に入らない。値域は $(0,\displaystyle \frac{1}{2}]$である。



問題１−４

関数 $y=x^{2} (x\in[-1,3])$の値域は$[1,9]$である．


解答　　　誤


コメント　　 $-1\leqq x\leqq 0$のとき、 $0\leqq x^{2}\leqq 1, 0\leqq x\leqq 3$のとき、 $0\leqq x^{2}\leqq 9$だから、値域は$[0,9]$である。




問題１−５

関数 $y=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$と関数$y=x+2$は同じ関数である．


解答　　誤


コメント　　$x\neq 2$のとき、 $$\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2$$だが、$x=2$のとき、 $y=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$は定義されていない。
一方、$y=x+2$はすべての実数$x$で定義されている。定義域が違うのでこの２つは異なる関数である。




問題１−６

関数$y=x^{2}$は１対１であり，逆関数が存在する．


解答　　誤


コメント　　$a>0$のとき、$x^{2}=a$となるのは、 $x=\sqrt{a}$と $x=-\sqrt{a}$の２つであるので、１対１でない。したがって、逆関数は存在しない。




問題１−７

関数 $y=x^{2} (x\in[0,\infty))$の逆関数は $x=\sqrt{y} (y\in[0,\infty))$である．


解答　　　　正




問題１−８

関数 $y=x^{2} (x\in(-\infty,0])$の逆関数は $y=-\sqrt{x} (x\in[0,\infty))$である．


解答　　　　正


コメント　　$y=x^{2}$を$x$について解けば、 $x=\pm\sqrt{y}$であるが、$x\leqq 0$だから、逆関数は $x=-\sqrt{y} (y\in[0,\infty))$。変数をとり替えると、
$y=-\sqrt{x} (x\in[0,\infty))$である．




問題１−９

関数 $y=\displaystyle \frac{1}{x}$の逆関数は $y=\displaystyle \frac{1}{x}$である．


解答　　　　正


コメント　　　　 $y=\displaystyle \frac{1}{x}$を$x$について解くと、 $x=\displaystyle \frac{1}{y}$となるが、変数をとり替えると、 $y=\displaystyle \frac{1}{x}$となる。




問題１−１０

関数 $y=f(x) (x\in D)$が１対１であるための必要十分条件は

$$x=x^{\prime} (x,x^{\prime}\in D)$$ならば$$f(x)=f(x^{\prime})$$

が成り立つことである．


解答　　　誤


コメント　　関数 $y=f(x) (x\in D)$が１対１であるとは、

$$f(x)=f(x^{\prime}) (x,x^{\prime}\in D)$$ならば$$x=x^{\prime}$$

が成り立つことである。



問題１−１１

関数 $y=-\sqrt{x} (x\in[0,\infty))$は狭義単調減少関数である．


解答　　　正


コメント　 $0\leqq x_{1}<x_{2}$とすれば、 $\sqrt{x_{1}}<\sqrt{x_{2}}.$ゆえに、 $-\sqrt{x_{1}}>-\sqrt{x_{2}}$となり、狭義単調減少関数である。




問題１−１２

関数$y=2x-3$の逆関数は $x=\displaystyle \frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$である．


解答　　　正


コメント　　$y=2x-3$を$x$について解けば、 $x=\displaystyle \frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$を得る。変数をとり替えて、 　 $y=\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$　と表しても良い。