演習問題２解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題２−１

実数の集合$A=(-3,4]$の上界の全体の集合は $A^{\sim}=[4,\infty)$，下界の全体の集合は $A_{\sim}=(-\infty,-3]$であるから，
$$\sup A=-3$$， $$\inf A=4$$である．


解答　　誤


コメント　　　上限は最小の上界、下限は最大の下界だから、 $$\sup A=4,\inf A=-3.$$




問題２−２

実数の集合 $B=\left\{1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\cdots,\dfrac{1}{n},\cdots\right\}$に対し， $$\sup B=1$$， $$\inf B=-\infty$$である．


解答　　　　誤


コメント　　　　 $B^{\sim}=[1,\infty), B_{\sim}=(-\infty,0]$だから、 $$\sup B=1$$は正しいが、 $$\inf B=0$$である。　




問題２−３

実数の集合 $C=\{1,-4,9,-16,\cdots,(-1)^{n+1}n^{2},\cdots\}$に対し，上界全体の集合は $C^{\sim}=\phi$，下界の全体の集合は $C_{\sim}=\phi$だから，
$$\sup C=\infty$$， $$\inf C=-\infty$$である．


解答　　正


コメント　　　どんな実数$c$に対しても、十分大きな奇数$n$をとれば、
$c<n^{2}=(-1)^{n+1}n^{2}$ となり、十分大きな偶数をとれば、 $c>-n^{2}=(-1)^{n+1}n^{2}$となるので、上界も下界も存在しない。




問題２−４

実数の集合$D$に最小値 $$\min D$$があれば $$\inf D=\min D$$である．


解答　　正


コメント　　最小値は最大の下界だからである。




問題２−５

$$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(x^{2}+2x+4)=10$$


解答　　誤


コメント　　　 $$\frac{x^{3}-8}{x-2}=\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}=x^{2}+2x+4$$。極限値は$12$である。




問題２−６

$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$$


解答　　正


コメント　　　 $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$$




問題２−７

$$\lim_{x\rightarrow-2}\frac{x+2}{x^{2}-4}=\frac{1}{4}$$


解答　　誤


コメント　　　 $$\lim_{x\rightarrow-2}\frac{x+2}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow-2}\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{4}$$




問題２−８

$$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+1}{(x-1)^{2}}=-\infty$$


解答　　誤


コメント　　 $x\rightarrow 1$のとき、 $x+1\rightarrow 2,(x-1)^{2}\rightarrow+0$だから、$+\infty$に発散する。




問題２−９

$$\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{1}{(x-1)^{3}}=-\infty$$


解答　　正


コメント　　$x<1$のとき、 $(x-1)^{3}<0$であるから、$-\infty$に発散する。




問題２−１０

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}-1}{x+3}$$= $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=\infty$$


解答　　正


$x\rightarrow\infty$のとき、 $x-\displaystyle \frac{1}{x}\rightarrow\infty,1+\frac{3}{x}\rightarrow 1$だからである。




問題２−１１

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+5}{n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2+\frac{5}{n}}{1-\frac{1}{n}}=2$$


解答　　正


コメント　　　 $n\rightarrow\infty$のとき、　 $$\frac{2+\frac{5}{n}}{1-\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{2+0}{1-0}$$=$2$




問題２−１２

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-2}{n^{2}+1}=0$$


解答　　正


コメント　　 $n\rightarrow\infty$のとき、 $$\frac{n-2}{n^{2}+1}=\frac{\frac{1}{n}-\frac{2}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n^{2}}}\rightarrow\frac{0-0}{1+0}=0$$




問題２−１３

実数$a$に対して，記号$[a]$で$a$を超えない最大の整数とする．関数$f(x)=[x]$は $(-\infty,\infty)$のすべての点で連続である．


解答　　誤


コメント　　$n$を整数とするとき、 $f(x)=n-1(n-1\leqq x<n$のとき$)$だから、 $$\lim_{x\rightarrow n-0}f(x)=n-1\neq f(n)=n$$だから、$x=n$で連続でない。