演習問題１２解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題１２−１

連続関数$f(x)$について，関数 $F(x)$ が $F^{\prime}(x)=f(x)$ を満たすとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

解答　　正




問題１２−２

$$\int_{1}^{2}x^{4}dx=\biggl{[}4x^{3}\biggr{]}_1^{2}=32-4=28.$$

解答　　誤


コメント

$$\int_{1}^{2}x^{4}dx=\biggl{[}\frac{x^{5}}{5}\biggr{]}_1^{2}=\frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5}.$$

問題１２−３

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x dx$$$$= \biggl{[}\cos x\biggr{]}_0^{\frac{\pi}{2}}$$    

$$=\cos\dfrac{\pi}{2}-\cos0=0-1=-1.$$

解答　　誤


コメント

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x dx$$$$= \biggl{[}-\cos x\biggr{]}_0^{\frac{\pi}{2}}$$

$$=-\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos0=0-1=1.$$

問題１２−４

$$y=\cos x,\quad y=\sin x,\quad y$$軸$$,\quad x=\dfrac{\pi}{4}$$

で囲む図形の面積$S$は

$$S =\int_0^{frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx=\biggl{[}\sin x+\cos x\biggr{]}_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\sin\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin0-\cos0$$

$$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-0-1=\sqrt{2}-1.$$

解答　　正




問題１２−５

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\cos xdx$$ $$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}x(\sin x)'dx$$
      $$=\biggl{[}x\sin x\biggr{]}_0^{\frac{pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin xdx$$
      $$=\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{4}+\biggl{[}\cos x\biggr{]}_0^{\frac{\pi}{4}}$$
      $$=\dfrac{\pi}{4}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos0$$
      $$=\dfrac{\pi}{4\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-1.$$    

解答　　正




問題１２−６

$t=\cos x$ とおくと， $\dfrac{dt}{dx}=-\sin x$ であり，

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx$$ $$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^2x)\sin xdx$$
      $$=\int_1^0(1-t^2)(-dt)=\int_0^1(t^2-1)dt$$
      $$=\biggl{[}\dfrac{t^3}{3}-t\biggr{]}_0^1=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}.$$    

解答　　誤


コメント　　　　　　 $$\int_{1}^{0}(1-t^{2})(-dt)=\int_{0}^{1}(1-t^{2})dt=[t-\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}$$




問題１２−７

$$\int_1^e\log xdx$$ $$=\int_1^ex'\log xdx$$
      $$=\biggl{[}x\log x\biggr{]}_1^e-\int_1^ex\times\dfrac{1}{x}dx$$
      $$=e\log e-\biggl{[}x\biggr{]}_1^e$$
      $$=e-e+1=1.$$
   

解答　　正




問題１２−８

$t=\sqrt{2-x}$ とおくと $x=2-t^{2}$， $\dfrac{dx}{dt}=-2t$ だから

$$\int_0^2x^2\sqrt{2-x}dx =\int_{\sqrt{2}}^0(2-t^2)^2t(-2t)dt$$

$$=\int_0^{\sqrt{2}}2(t^6-4t^4+4t^2)dt$$

$$=2\biggl{[}\dfrac{t^7}{7}-\dfrac{4t^5}{5}+\dfrac{4t^3}{3}\biggr{]}_0^{\sqrt{2}}$$

$$=2\left(\dfrac{8\sqrt{2}}{7}-\dfrac{16\sqrt{2}}{5}+\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\right)$$

$$=\dfrac{64\sqrt{2}}{105}.$$

解答　　誤


コメント　　最後の等式は $=\displaystyle \frac{128\sqrt{2}}{105}$となる。




問題１２−９

$$\int_{x}^{x^{2}}f(t)dt=\int_{x}^{x^{2}}f(x)dx.$$

解答　　正


コメント　　　右辺では積分区間の$x$と関数の変数の$x$は別のものであるのに同じ記号$x$を用いているが、
混同しないように右辺のように区別して書くことが勧められる。




問題１２−１０

連続関数 $f(x)$ について

$$\left(\int_{1}^{x}f(t)dt\right)^{\prime}=f(x).$$

解答　　正




問題１２−１１

連続関数 $f(x)$ について

$$\left(\int_{1}^{x^{2}}f(t)dt\right)^{\prime}=2xf(x^{2})$$

解答　　正


コメント　　　　$u=x^{2}$とおくと、
$$\frac{d}{dx}(\int_{1}^{x^{2}}f(t)dt)=\frac{d}{du}(\int_{1}^{u}f(t)dt)\frac{du}{dx}=f(u)\times 2x=2xf(x^{2})$$




問題１２−１２

連続関数 $f(x)$ について

$$\left(\int_{x}^{0}f(t)dt\right)^{\prime}=-f(x).$$

解答　　正


コメント

$$\left(\int_{x}^{0}f(t)dt\right)^{\prime}=\left(-\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^{\prime}=-f(x).$$