演習問題１１解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題１１−１

$$(e^{ix})^{\prime}=ie^{ix}$$

解答　　正


コメント　　一般に、複素数$\alpha$について、 $(e^{\alpha x})^{\prime}=\alpha e^{\alpha x}$　　がなりたつ。




問題１１−２

　 $y=e^{\alpha x}$を線形微分方程式 $y^{\prime\prime}-y=0$の解とすると $\alpha^{2}-1=0$が成り立ち，
$\alpha=\pm 1$だから，$y=e^{x}$と$y=e^{-x}$は解であり，

$$W(e^{x},e^{-x},x)=e^{x}(-e^{-x})-e^{x}e^{-x}=-2<0$$

を満たし，１次独立な解である．


解答　　正




問題１１−３

　 $y=e^{\alpha x}$を２階線形微分方程式 $y^{\prime\prime}+y=0$の解とすると， $\alpha^{2}+1=0$が成り立つ． $\alpha=\pm i$だから，
$y=e^{ix}$と$y=e^{-ix}$は $y^{\prime\prime}+y=0$の解であり， $c_{1},c_{2}$を定数とするとき

$$y =c_1e^{ix}+c_2e^{-ix}$$

$$=c_1(\cos x+i\sin x)+c_2(\cos x-i\sin x)$$

$$=(c_1+c_2)\cos x+i(c_1-c_2)\sin x$$

も $y^{\prime\prime}+y=0$の解だから，$y=\cos x$と$y=\sin x$は $y^{\prime\prime}+y=0$の解であるが，１次独立ではない．


解答　　誤


コメント　　$\cos x$と$\sin x$は互いに他方の定数倍ではないから１次独立である。
このことは、 $W(\cos x,\sin x,x)=1\neq 0$から判定することもできる。




問題１１−４

　 $y=e^{\alpha x}$を２階線形微分方程式 $y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0$の解とすると

$$\alpha^{2}-2\alpha+1=0$$

が成り立つ．この２次方程式の解は$\alpha=1$が重根である ．したがって，$y=e^{x}$は微分方程式の解であるが，
さらに，$y=xe^{x}$も微分方程式の解になっており，$y=e^{x}$と$y=xe^{x}$は１次独立である．


解答　　正


コメント　　　$y=xe^{x}$については、 $y^{\prime}=(1+x)e^{x},y^{\prime\prime}=(2+x)e^{x}$より、

$$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=(2+x)e^{x}-2xe^{x}+xe^{x}=0$$

がなりたつから、解である。$e^{x}$と$xe^{x}$とは互いに他方の定数倍になっていないから１次独立である。
このことは、 $W(e^{x},xe^{x},x)=e^{2x}\neq 0$から判定することもできる。




問題１１−５　

微分方程式

$$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0$$

の特性方程式の解は $\alpha=1\pm i$だから， $y=e^{x}\cos x$と $y=e^{x}\sin x$がこの微分方程式の基本解である．

さらに，微分方程式

$$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=e^{x}$$

を解くには，

$$u_1(x)=-\int\dfrac{e^{2x}\sin x}{e^{2x}}dx=-\int\sin x dx=\cos x$$

$$u_2(x)=\int\dfrac{e^{2x}\cos x}{e^{2x}}dt=\int\cos xdx=\sin x$$

だから，

$$y =(\cos x+c_1)e^x\cos x+(\sin x+c_2)e^x\sin x$$

$$=e^x+c_1e^x\cos x+c_2e^x\sin x$$

が解である．


解答　　正