演習問題１０解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。

問題１０−１

$y^{\prime}=\displaystyle \frac{x}{y}$を解くには

$$\int ydy=\int xdx$$

だから

$$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+c$$

となり

$$y^{2}=x^{2}+2c$$

となり

$$y=\sqrt{x^{2}+C},\quad y=-\sqrt{x^{2}+C}$$

が解である．ただし，$C$は定数．


解答　　正




問題１０−２

$$\dfrac{xy^2y'}{x^2+1}=1$$

は変数分離形の微分方程式である．


解答　　正


コメント　　実際、 $y^{2}dy=\displaystyle \frac{x^{2}+1}{x}dx$と変数分離できる。




問題１０−３

$$y^{3}y^{\prime}+xy+y=1$$

は変数分離形の微分方程式である．


解答　　誤


コメント

$$y^{3}y^{\prime}=1-y(x+1)$$

と書き直しても、右辺が$x$の関数と$y$の関数の積に書き直せない。




問題１０−４

$$y^{2}y^{\prime}+x^{2}+y^{2}=0$$

は同次形の微分方程式である．


解答　　正


コメント　　　実際、 $y^{\prime}=-(\displaystyle \frac{x}{y})^{2}-1$と書き直せる。




問題１０−５

$$xyy^{\prime}+xy+1=0$$

は同次形の微分方程式である．


解答　　誤


コメント　　　実際、 $y^{\prime}=-1-\displaystyle \frac{1}{xy}$と書き直しても、右辺が $$\frac{y}{x}$$の関数とならない。




問題１０−６

１階線形微分方程式

$$y^{\prime}+P(x)y=Q(x)$$

の解の公式は

$$y=e^{\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c\right)$$

である．


解答　　誤


コメント　　　正しくは、

$$y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c\right)$$

問題１０−７

１階線形微分方程式 $y^{\prime}+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{1}{x}$ を $x>0$ の範囲で解くと，

$$\int\dfrac{1}{x}dx=\log x$$

だから，解の公式より

$$y =e^{-\log x}\left(\int \dfrac{1}{x}e^{\log x}dx+c\right)=\dfrac{1}{x}\left(\int 1dx+c\right)$$

$$=\dfrac{1}{x}(x+c)=1+\dfrac{c}{x}.$$

解答　　正




問題１０−８

１階線形微分方程式 $y^{\prime}+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{1}{x}$ を$x<0$の範囲で解くと

$$\int\dfrac{1}{x}dx=\log(-x)$$

だから，解の公式より

$$y =e^{-\log(-x)}\left(\int \dfrac{1}{x}e^{\log(-x)}dx+c\right)$$

$$=\dfrac{1}{-x}\left(\int x(-x)dx+c\right)$$

$$=-\dfrac{1}{x}\left(-\dfrac{x^3}{3}+c\right)$$

$$=\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{c}{x}.$$

解答　　正