演習問題９解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題９−１

$$\int\sqrt{x}dx=x\sqrt{x}$$

解答　　誤


コメント　　 $$\int\sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$$




問題９−２

$$\int\dfrac{1}{x^2-1}dx$$ $$=\int\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)dx$$
      $$=\dfrac{1}{2}(\log\vert x-1\vert-\log\vert x+1\vert)$$
      $$=\dfrac{1}{2}\log\left\vert\dfrac{x-1}{x+1}\right\vert$$
   

解答　　正




問題９−３

$$\int e^{3x}dx=3e^{3x}$$

解答　　誤


コメント　　　 $$\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}$$



問題９−４

$$\int\sin xdx=\cos x$$

解答　　誤


コメント　　　　 $$\int\sin xdx=-\cos x$$




問題９−５

$$\int\frac{1}{x}\log\vert x\vert dx=\frac{1}{2}(\log\vert x\vert)^{2}$$

解答　　正


コメント　　　部分積分の公式より、
$$\int\frac{1}{x}\log\vert x\vert dx=\int(\log\vert x\vert)^{\prim... ...=\log\vert x\vert\times\log\vert x\vert-\int\log\vert x\vert\times\frac{1}{x}dx$$
となり、移項することによって得られる。




問題９−６

$$\int\frac{\sin x\cos x}{\sin^{2}x+1}dx=\log\vert\sin^{2}x+1\vert$$

解答　　誤


コメント　　　 $$\int\frac{\sin x\cos x}{\sin^{2}x+1}dx=\int\frac{\frac{1}{2}(\sin^{2}x+1)^{\prime}}{\sin^{2}x+1}=\frac{1}{2}\log\vert\sin^{2}x+1\vert$$




問題９−７

部分積分の公式は

$$\int f^{\prime}(x)g(x)dx=f(x)g(x)+\int f(x)g^{\prime}(x)dx$$

である．


解答　　誤


コメント　　　符号が間違っている。

$$\int f^{\prime}(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime}(x)dx$$

問題９−８

置換積分の公式は

$$\int f(x)dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)dt$$

である．


解答　　正




問題９−９

$$\int(\log x+1)^2dx$$ $$=x(\log x+1)^2-\int2(\log x+1)dx$$
      $$=x(\log x+1)^2-2x(\log x+1)+\int 2dx$$
      $$=x(\log x+1)^2-2x(\log x+1)+2x$$    

解答　　正




問題９−１０　

$t=\sqrt{1+x}$とおくと，$x=t^{2}-1$， $\dfrac{dx}{dt}=2t$であるから

$$\int x\sqrt{1+x}dx$$ $$=\int(t^2-1)t\times2tdt$$
      $$=\int2(t^4-t^2)dt$$
      $$=2\left(\dfrac{t^5}{5}-\dfrac{t^3}{3}\right)$$
      $$=\dfrac{2t^3}{15}(3t-5)$$
      $$=\dfrac{2(1+x)\sqrt{1+x}}{15}(3\sqrt{1+x}-5)$$    

解答　　誤


コメント 　　　　　　　 $2(\displaystyle \frac{t^{5}}{5}-\frac{t^{3}}{3})=\frac{2t^{3}}{15}(3t^{2}-5)=\frac{2(1+x)\sqrt{1+x}}{15}(3x-2)$