演習問題３解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題３−１

$2^{\frac{1}{6}}$とは$x^{6}=2$を満たす数$x$のことである．


解答　　　誤


コメント　　　　　$x^{6}=2$をみたす$x$は正数と負数の２つあり、そのうち正数のほうが $2^{\frac{1}{6}}$である。




問題３−２

$(3^{3})^{\frac{1}{3}}=3$


解答　　正


コメント　　　 $(3^{3})^{\frac{1}{3}}=3^{3\times\frac{1}{3}}=3^{1}=3$




問題３−３

$3^{0}=3$


解答　　誤
$3^{0}=1$である。すべての正数$a$について$a^{0}=1$である。




問題３−４

関数$y=2^{x}$の値域は $(-\infty,\infty)$である．


解答　　誤


コメント　　　値域は $(0,\infty)$である。




問題３−５

２つの実数$x_{1}$，$x_{2}$に対して

$$(2^{x_{1}})^{x_{2}}=2^{x_{1}+x_{2}}$$

が成り立つ．


解答　　誤


コメント　　　　 $(2^{x_{1}})^{x_{2}}=2^{x_{1}x_{2}}$




問題３−６

$y=\log_{2}8$とすれば，$2^{y}=8$であるから $\log_{2}8=3$である．


解答　　正


コメント　　　 $2^{y}=8=2^{3}$だから、$y=3$




問題３−７

関数 $y=\log_{3}x$は関数$y=3^{x}$の逆関数である．


解答　　正




問題３−８

２つの実数$x_{1}$，$x_{2}$に対して

$$\log_{2}(x_{1}x_{2})=\log_{2}x_{1}+\log_{2}x_{2}$$

解答　　誤


コメント　　　関数$\log_{2}x$の定義域は $(0,\infty)$だから、 $x_{1}>0,x_{2}>0$でなければならない。




問題３−９

$x>0$のとき

$$3^{\log_{3}x}=x$$

解答　　正


コメント　　　 $y=\log_{3}x$とおくと、$3^{y}=x$だから、 $3^{\log_{3}x}=3^{y}=x$




問題３−１０

$a>1$のとき関数 $y=\log_{a}x$の値域は $(-\infty,\infty)$である．


解答　　正




問題３−１１

$a>1$のとき $x=\log_{a}a$とおくと，$a^{x}=a$であるから$x=1$，すなわち $\log_{a}a=1$である．


解答　　正




問題３−１２

$$\lim_{h\rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e.$$

解答　　正


コメント　　　 $$\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$$において、 $$\frac{1}{x}=h$$とおけば、 $$\lim_{h\rightarrow+0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$$　。
$$\lim_{x\rightarrow-\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$$において、 $$\frac{1}{x}=h$$とおけば、 $$\lim_{h\rightarrow-0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$$　　。
ゆえに、 $$\lim_{h\rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$$　　。