演習問題４解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。

問題４−１

$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$


解答　　正




問題４−２

$\sin x+\sin(-x)=0$


解答　　正


コメント　　　 $\sin(-x)=-\sin x$　より。




問題４−３

$$\sin\frac{\pi}{2}=0$$


解答　　誤


コメント　　　　 $$\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=e^{\frac{\pi}{2}i}=i$$より、 $$\sin\frac{\pi}{2}=1$$




問題４−４

$\cos\pi=-1$


解答　　正


コメント　　 $\cos\pi+i\sin\pi=e^{\pi i}=-1$より、　 $\cos\pi=-1$




問題４−５

$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$


解答　　誤


コメント　　　 $$\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=e^{\frac{\pi}{6}i}=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$$より、　 $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$




問題４−６

関数 $y=\sin^{-1}x$は関数 $y=\sin x (x \in[-\pi/2,\pi/2])$の逆関数である．


解答　　正




問題４−７

関数 $x=\tan^{-1}y$は関数$y=\tan x$の逆関数である．


解答　　誤


コメント　　　　 $x=\tan^{-1}y$は$y=\tan x$　 $(-\displaystyle \frac{\pi}{2}< x<\frac{\pi}{2})$の逆関数である．$y=\tan x$は逆関数を持たない。




問題４−８

関数 $y=\cos^{-1}x$は単調減少関数で，値域は$[0,\pi]$である．


解答　　正




問題４−９

$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$だから， $$\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}$$である．


解答　　正




問題４−１０

　　 $\sin^{-1}(\sin x)=x$


解答　　誤


コメント　　　 $\sin^{-1}(\sin x)=x$　　 $(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\frac{\pi}{2})$　　と制限すれば正しい。




問題４−１１

　　　 $\sin(\sin^{-1}x)=x$


解答　　正