演習問題５解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題５−１

定数関数$f(x)=c$について，$a$を定数とするとき

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{c-c}{x-a}=0 \rightarrow 0 (x\rightarrow a)$$

であるから $f^{\prime}(a)=0$が成り立つ．したがって， $f^{\prime}(x)=0$である．

解答　　正




問題５−２

関数$f(x)$の導関数 $f^{\prime}(x)$があるとき，

$$f^{\prime}(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

が成り立つ．


解答　　正




問題５−３

　どんな関数$f(x)$に対しても $f^{\prime}(a)$が定まる．


解答　　誤


コメント　　　　例えば、関数　$f(x)=\vert x\vert$については、 $f^{\prime}(0)$は存在しない。




問題５−４

　 $f^{\prime}(a)$は関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,f(a))$における接線の傾きである．


解答　　正




問題５−５

　 $f^{\prime}(a)$は関数$y=f(x)$の$x=a$における「瞬間変化率」を意味する．


解答　　正




問題５−６

　 $(e^{y})^{\prime}=e^{y}$


解答　　正


コメント　　　　 $(e^{x})^{\prime}=e^{x}$の変数を書き換えただけである。




問題５−７

　 $(\sin^{-1}y)^{\prime}=\cos^{-1}y$


解答　　誤


コメント　　　　 $(\displaystyle \sin^{-1}y)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}$




問題５−８

　 $f(x)=\sin^{-1}x$の $x=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$における微分係数は $$\frac{\pi}{6}$$である．


解答　　誤


コメント　 $f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$だから、　　 $f^{\prime}(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}}=2$




問題５−９

　関数 $x=\sqrt{y}$は関数 $y=x^{2} (0\leqq x<\infty)$の逆関数であるから

$$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}=\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}},$$

すなわち， $(\sqrt{y})^{\prime}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}$が成り立つ．


解答　　正