演習問題６解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題６−１

$n$を自然数とするとき，関数$y=x^{n}$の値域は $(-\infty,\infty)$である．また導関数は $y^{\prime}=nx^{n-1}$である．


解答　　誤


コメント　　$n$が偶数のときの値域は $[0,\infty)$である。




問題６−２

指数関数$y=e^{x}$の定義域は $(0,\infty)$であり，値域は $(-\infty,\infty)$である．また導関数は $y^{\prime}=e^{x}$である．


解答　　誤


コメント　　定義域は $(-\infty,\infty)$、値域は $(0,\infty)$である。




問題６−３

　対数関数$y=\log x$の定義域は $(-\infty,\infty)$であり，値域は $(0,\infty)$である．また導関数は $y^{\prime}=\displaystyle \frac{1}{x}$である．


解答　　誤


コメント　　定義域が $(0,\infty)$で、値域が $(-\infty,\infty)$である。




問題６−４

　余弦関数$y=\cos x$の値域は$[0,1]$であり，導関数は $y^{\prime}=\sin x$である．

解答　　誤


コメント　　値域は$[-1,1]$であり、導関数は $y^{\prime}=-\sin x$である。




問題６−５

　アークサイン関数 $y=\sin^{-1}x$の定義域は$[-1,1]$であり，値域は$[0,\pi]$である．また，導関数は $y^{\prime}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$である．


解答　　誤


コメント　　　　値域は $[-\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$である。




問題６−６

　アークタンジェント関数 $y=\tan^{-1}x$の値域は $[-\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$であり，狭義単調増加である．


解答　　誤


コメント　　　値域は $(-\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$である。




問題６−７

　アークサイン関数とアークコサイン関数の間には

$$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$$

の関係がある．


解答　　正




問題６−８

　関数 $y=e^{x^{3}}$は関数$y=e^{t}$と関数$t=x^{3}$を合成してできる．


解答　　正




問題６−９

　関数$y=\log x$と関数$x=t^{2}+1$を合成すると関数 $y=(\log x)^{2}+1$ができる．


解答　　誤


コメント　　合成関数は　 $y=\log(t^{2}+1)$である。




問題６−１０

　関数 $\sqrt{1-x}\log(x+1)$の定義域は$[-1,1]$である．


解答　　誤


コメント　　　　関数 $\sqrt{1-x}$の定義域は $(-\infty,1]$であり、関数$\log(x+1)$の定義域は $(-1,\infty)$だから、
$(-\infty,1]\cap(-1,\infty)=(-1,1]$が定義域である。




問題６−１１

　関数 $$\frac{1}{\log x}$$の定義域は $(0,\infty)$である．


解答　　誤


コメント　　　$\log x$の定義域は $(0,\infty)$であるが、$\log 1=0$であるので、定義域は $1$を取り除いた $(0,1)\cup(1,\infty)$である。