演習問題７解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。


問題７−１

$(x^{3}\cos x)^{\prime}=3x^{2}\cos x+x^{3}\sin x$


解答　　誤


コメント　　　　　 $(x^{3}\cos x)^{\prime}=3x^{2}\cos x-x^{3}\sin x$




問題７−２

$(\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)})^{\prime}=\frac{g^{\prime}(x)f(x)+f(x)g^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^{2}}$


解答　　　誤


コメント　　　　　 $(\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)})^{\prime}=\frac{g^{\prime}(x)f(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^{2}}$




問題７−３

　 $(e^{x^{3}})^{\prime}=3x^{2}e^{x^{3}}$


解答　　正




問題７−４

　 $(\sin(x^{2}+1))^{\prime}=x\sin(x^{2}+1)$


解答　　　誤


コメント　　　$y=\sin t$と　$t=x^{2}+1$の合成関数だから、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\cos t\times(2x)=2x\cos(x^{2}+1)$$




問題７−５

　 $(\sin(\cos x))^{\prime}=\sin x\cos(\cos x)$


解答　　誤


コメント　　$y=\sin t$と　$t=\cos x$の合成関数だから、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\cos t\times(-\sin x)=-\sin x\cos(\cos x)$$




問題７−６

　$a$を正の定数とするとき

$$(\sin^{-1}\frac{x}{a})^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.$$

解答　　正


コメント　　　 $y=\sin^{-1}t$と　 $t=\displaystyle \frac{x}{a}$の合成関数だから、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\times\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$$




問題７−７　

$(x\displaystyle \tan^{-1}x)^{\prime}=\tan^{-1}x+\frac{x}{1+x^{2}}$


解答　　正


コメント　　　関数の積の導関数の公式を用いる。




問題７−８

　 $f(x)=x^{2}\sin x$とすると

$$f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$$

$$f''(x)=2\sin x+4x\cos x+x^2\sin x$$

解答　　誤


コメント　　　 $f^{\prime}(x)$は正しい。
$f^{\prime\prime}(x)=2\sin x+2x\cos x+2x\cos x-x^{2}\sin x=2\sin x+4x\cos x-x^{2}\sin x$




問題７−９

　 $y=e^{x^{3}}$とするとき

$$y'$$$$=3x^2e^{x^3}$$    
$$y''&=6xe^{x^3}+9x^4e^{x^3}$$     $$=3x(2+3x^3)e^{x^3}$$    

解答　　正