演習問題８解答

次のそれぞれの正誤を判定しなさい。

問題８−１

関数 $f(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}$について

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}},\quad f(0)=1,\quad f^{\prime}(0)=1$$

だから

$$\sqrt{1+x}=1+x+o(x).$$

解答　　誤


コメント　　　 $f^{\prime}(0)=\displaystyle \frac{1}{2}$だから、

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o(x)$$

問題８−２

　関数 $f(x)=\displaystyle \frac{1}{1+x}$について

$$f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}$$

だから

$$\frac{1}{1+x}=1-x+o(x).$$

解答　　正




問題８−３

　関数 $f(x)=\sin x$について，

$$f'(x)=\cos x, f''(x)=-\sin x,$$

$$f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0$$

だから

$$\sin x=x+o(x^{2}).$$

解答　　正




問題８−４

　関数 $f(x)=\cos x$に対して $f^{\prime}(x)=-\sin x$であるから

$$\cos x=1-\sin(\theta x)$$

を満たす$\theta$（ $0<\theta<1$）が存在する．


解答　　誤


コメント　　　　 $\cos x=1-x\sin(\theta x)$を満たす$\theta$（ $0<\theta<1$）が存在する．




問題８−５

　関数 $f(x)=x^{3}-2x$について

$$f^{\prime}(x)=3x^{2}-2,f(1)=-1,f^{\prime}(1)=1$$

だから $y=x^{3}-2x$の点$(1,f(1))$における接線の方程式は$y=-1+x$である．


解答　　誤


コメント　　　接線の方程式は
　 $y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)=1\times(x-1)-1=x-2$ である。




問題８−６

　関数 $f(x)=\log x$について

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}, f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}, f^{\prime}(1)=1, f^{\prime\prime}(1)=-1$$

だから，$y=\log x$のグラフは点$(1,f(1))$において，下に凸である．


解答　　誤


コメント　　　 $f^{\prime\prime}(0)<0$だから、上に凸である。




問題８−７

　関数 $f(x)=x^{3}+x^{2}$について

$$f'(x)=3x^2+2x, f''(x)=6x+2,$$

$$f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=2$$

だからこの関数は$x=0$において極大値0をとる．


解答　　誤


コメント　　 $f^{\prime\prime}(0)>0$だから、$x=0$において極小値をとる。




問題８−８

　関数 $f(x)=x^{2}e^{-x}$について

$$f^{\prime}(x)=x(2-x)e^{-x},f^{\prime\prime}(x)=(2-4x+x^{2})e^{-x}$$

だから極大値または極小値をとる点の候補は$x=0$と$x=2$であり，

$$f^{\prime\prime}(0)=2,\quad f^{\prime\prime}(2)=-2e^{-2}$$

だから，この関数は$x=0$で極小値0，$x=2$で極大値$4e^{-2}$をとる．


解答　　正